Trigonométrie Exemples

$y = 6 x^{2} - 9 x - 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 6 y^{2} - 9 y - 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $6 y^{2} - 9 y - 1 = x$ .

$6 y^{2} - 9 y - 1 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$6 y^{2} - 9 y - 1 - x = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = - 9$ et $c = - 1 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 1 - x))}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot - 1 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.4

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.6

Additionnez $81$ et $24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{105 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.7

Factorisez $3$ à partir de $105 + 24 x$ .

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Étape 2.5.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $105$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.7.2

Factorisez $3$ à partir de $24 x$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 3 (8 x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.1.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (35) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot - 1 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.6

Additionnez $81$ et $24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{105 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.7

Factorisez $3$ à partir de $105 + 24 x$ .

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Étape 2.6.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $105$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.7.2

Factorisez $3$ à partir de $24 x$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 3 (8 x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (35) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot - 1 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.6

Additionnez $81$ et $24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{105 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.7

Factorisez $3$ à partir de $105 + 24 x$ .

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Étape 2.7.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $105$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.7.2

Factorisez $3$ à partir de $24 x$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 3 (8 x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (35) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

$y = \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

$y = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

$y = \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ et $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{35}{8}, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 (35 + 8 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 (35 + 8 x) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 (35 + 8 x) \geq 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (35 + 8 x) \geq 0$ par $3$ .

$\frac{3 (35 + 8 x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (35 + 8 x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 4.3.2.1.2.1.2

Divisez $35 + 8 x$ par $1$ .

$35 + 8 x \geq \frac{0}{3}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$35 + 8 x \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $35$ des deux côtés de l’inégalité.

$8 x \geq - 35$

Étape 4.3.2.3

Divisez chaque terme dans $8 x \geq - 35$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x \geq - 35$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 35}{8}$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 35}{8}$

Étape 4.3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 35}{8}$

Étape 4.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{35}{8}$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{35}{8}, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ est le domaine de $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ , $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Étape 5