Trigonométrie Exemples

$\log_{8} (x^{2} - x) > \log_{8} (42)$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{8} (x^{2} - x) = \log_{8} (42)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - x = 42$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $42$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 42 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{2} - x - 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 42$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 7, 6$

Étape 2.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.2.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 7, - 6$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x (x - 1)}{42} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez les deux côtés par $42$ .

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez $\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de $42$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Étape 3.2.2.1.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (x - 1) > 0 \cdot 42$

Étape 3.2.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Étape 3.2.2.1.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Étape 3.2.2.1.1.1.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x > 0 \cdot 42$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x > 0 \cdot 42$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez $0$ par $42$ .

$x^{2} - x > 0$

Étape 3.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - x = 0$

Étape 3.2.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Étape 3.2.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.2.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 3.2.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 3.2.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.2.5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2) ((- 2) - 1)}{42} > 0$

Étape 3.2.5.1.3

Le côté gauche $0.\overline{142857}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 3.2.5.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0.5) ((0.5) - 1)}{42} > 0$

Étape 3.2.5.2.3

Le côté gauche $- 0.00595238$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.2.5.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) ((4) - 1)}{42} > 0$

Étape 3.2.5.3.3

Le côté gauche $0.\overline{285714}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 3.2.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > 1$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{8} ({(- 8)}^{2} - (- 8)) > \log_{8} (42)$

Étape 5.1.3

Le côté gauche $2.05664166$ est supérieur au côté droit $1.79743914$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{8} ({(- 3)}^{2} - (- 3)) > \log_{8} (42)$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $1.1949875$ n’est pas supérieur au côté droit $1.79743914$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{8} ({(0.5)}^{2} - (0.5)) > \log_{8} (42)$

Étape 5.3.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.3.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.3.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{8} ({(4)}^{2} - (4)) > \log_{8} (42)$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $1.1949875$ n’est pas supérieur au côté droit $1.79743914$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 5.5.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{8} ({(10)}^{2} - (10)) > \log_{8} (42)$

Étape 5.5.3

Le côté gauche $2.16395103$ est supérieur au côté droit $1.79743914$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$1 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$1 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 6$ ou $x > 7$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 6 or x > 7$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 6) \cup (7, \infty)$

Étape 8