Trigonométrie Exemples

$\frac{a + b}{2} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = \frac{a + b}{2}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ comme ${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{1} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\frac{a + b}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{a + b}{2}$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$

Étape 4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 (2)} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$

Étape 4.3

Résolvez $a$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1.1

Simplifiez $(a^{2} + b^{2}) \cdot 2$ .

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Étape 4.3.2.1.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.3.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} \cdot 2 + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Étape 4.3.2.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.3.2.1.1.1.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Étape 4.3.2.1.1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $b^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} + 2 \cdot b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Étape 4.3.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $b^{2}$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Étape 4.3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2}$

Étape 4.3.3

Résolvez $a$ .

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez ${(a + b)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = 0 + 0 + {(a + b)}^{2}$

Étape 4.3.3.1.2

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = (a + b) (a + b)$

Étape 4.3.3.1.3

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a (a + b) + b (a + b)$

Étape 4.3.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b (a + b)$

Étape 4.3.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b a + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.4.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.4.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b^{2}$

Étape 4.3.3.1.4.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 4.3.3.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2}$

Étape 4.3.3.1.4.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Étape 4.3.3.2

Comme $a$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}$

Étape 4.3.3.3

Déplacez tous les termes contenant $a$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.3.3.1

Soustrayez $2 a^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a^{2} = 2 b^{2}$

Étape 4.3.3.3.2

Soustrayez $2 a^{2}$ de $a^{2}$ .

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 b^{2}$

Étape 4.3.3.4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.3.3.4.1

Soustrayez $2 b^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 b^{2} = 0$

Étape 4.3.3.4.2

Soustrayez $2 b^{2}$ de $b^{2}$ .

$- a^{2} + 2 a b - b^{2} = 0$

Étape 4.3.3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.3.6

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 2 b$ et $c = - b^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.7.1.1

Réécrivez $- 4 \cdot - 1 b^{2}$ comme ${(2 b)}^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - {(2 b)}^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 b$ et $b = 2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{(2 b + 2 b) (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.7.1.3.1

Additionnez $2 b$ et $2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - 2 b)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.4

Soustrayez $2 b$ de $2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b \cdot 0}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.5

Associez les exposants.

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Étape 4.3.3.7.1.5.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0 b}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.5.2

Multipliez $0$ par $b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{- 2 b \pm 0}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.1.8

$- 2 b$ plus or minus $0$ is $- 2 b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

Étape 4.3.3.7.3

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.3.3.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

Étape 4.3.3.7.3.2

Divisez $b$ par $1$ .

$a = b$

Étape 4.3.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = b$ Racines doubles