Trigonométrie Exemples

$(3 x - 1) (x - 1) < 7$

Étape 1

Simplifiez $(3 x - 1) (x - 1)$ .

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Étape 1.1

Développez $(3 x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (x - 1) - 1 (x - 1) < 7$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (x - 1) < 7$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 x^{2} - 3 x - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 1 < 7$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - x + 1 < 7$

Étape 1.2.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 < 7$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} - 4 x + 1 - 7 < 0$

Étape 2.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 6 < 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 4$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 6$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.3

Additionnez $16$ et $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $88$ comme $2^{2} \cdot 22$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $88$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{3}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{2 + \sqrt{22}}{3}, \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 (- 3) - 1) ((- 3) - 1) < 7$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $40$ n’est pas inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 (0) - 1) ((0) - 1) < 7$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $1$ est inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 (5) - 1) ((5) - 1) < 7$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $56$ n’est pas inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Faux

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Vrai

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Faux

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Faux

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Vrai

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{2 - \sqrt{22}}{3}, \frac{2 + \sqrt{22}}{3})$

Étape 12