Trigonométrie Exemples

$(2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x)) = 13$

Étape 1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 13 = 0$

Étape 2

Remplacez le $- 3 \sin^{2} (x)$ par $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) - 3 (1 - \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) - 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Étape 3.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 \cos (x) - 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 \cos (x) - 3 + 3 \cos^{2} (x) - 13 = 0$

Étape 4

Soustrayez $13$ de $- 3$ .

$2 \cos (x) + 3 \cos^{2} (x) - 16 = 0$

Étape 5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 16 = 0$

Étape 6

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$3 {(u)}^{2} + 2 (u) - 16 = 0$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$3 u^{2} + 2 u - 16 = 0$

Étape 7.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 6$ plus $8$

$3 u^{2} + (- 6 + 8) u - 16 = 0$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (u - 2) + 8 (u - 2) = 0$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 2$ .

$(u - 2) (3 u + 8) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$3 u + 8 = 0$

Étape 9

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 10

Définissez $3 u + 8$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $3 u + 8$ égal à $0$ .

$3 u + 8 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $3 u + 8 = 0$ pour $u$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$3 u = - 8$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = - 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = - 8$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 8}{3}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{8}{3}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (3 u + 8) = 0$ vraie.

$u = 2, - \frac{8}{3}$

Étape 12

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 2, - \frac{8}{3}$

Étape 13

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 2$

$\cos (x) = - \frac{8}{3}$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 2$ .

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Étape 14.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 15

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{8}{3}$ .

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Étape 15.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{8}{3}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution