Trigonométrie Exemples

$y = \tan (- \frac{3}{4} x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \tan (- \frac{3}{4} y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (- \frac{3}{4} y) = x$ .

$\tan (- \frac{3}{4} y) = x$

Étape 2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$- \frac{3}{4} y = \arctan (x)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{3}{4} y$ .

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Étape 2.3.1.1

Associez $y$ et $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{4} = \arctan (x)$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$- \frac{3 y}{4} = \arctan (x)$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Simplifiez $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 y}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 2.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $- \frac{4}{3} \arctan (x)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Associez $\arctan (x)$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 4}{3}$

Étape 2.5.2.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\arctan (x)$ .

$y = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3}{4} x))}{3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{x \cdot 3}{4}))}{3}$

Étape 4.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3 \cdot x}{4}))}{3}$

Étape 4.2.3.3

Comme $\tan (- \frac{3 x}{4})$ est une fonction impaire, réécrivez $\tan (- \frac{3 x}{4})$ comme $- \tan (\frac{3 x}{4})$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (- \tan (\frac{3 x}{4}))}{3}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{4 \arctan (x)}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

Étape 4.3.3.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 \arctan (x)}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Étape 4.3.3.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (- 4 \arctan (x)))$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \arctan (x)$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

Étape 4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- 1 \cdot (- \arctan (x)))$

Étape 4.3.5

Multipliez.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (1 \cdot \arctan (x))$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\arctan (x)$ par $1$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\arctan (x))$

Étape 4.3.6

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$