Trigonométrie Exemples

$\sin (x) - \cos (x) > 0$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Séparez les fractions.

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 6

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 > 0 \sec (x)$

Étape 7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 > 0$

Étape 8

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\tan (x) > 1$

Étape 9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x > \arctan (1)$

Étape 10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Étape 11

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 12

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 12.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 12.2

Associez les fractions.

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Étape 12.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 12.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 13

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 14

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Étape 17

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 17.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 17.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 17.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2) - \cos (2) > 0$

Étape 17.1.3

Le côté gauche $1.32544426$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 17.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Vrai

Étape 18

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19