Trigonométrie Exemples

$\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Multiplier chaque terme dans $\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.1

Multipliez chaque terme dans $\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$ par $2$ .

$\sin (a) \cos (a) \cdot 2 = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Remettez dans l’ordre $\sin (a) \cos (a)$ et $2$ .

$2 \cdot (\sin (a) \cos (a)) = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 a) = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\sin (2 a) = \frac{- 1}{2} \cdot 2$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 a) = \frac{- 1}{2} \cdot 2$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 a) = - 1$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $a$ de l’intérieur du sinus.

$2 a = \arcsin (- 1)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$2 a = - \frac{π}{2}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 a = - \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 a = - \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$a = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$a = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$a = - \frac{π}{4}$

Étape 5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 a = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 a = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 6.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 a = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 a = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 a = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$a = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$a = \frac{3 π}{4}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (2 a)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 8.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.3

Associez les fractions.

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Étape 8.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 8.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$a = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (2 a)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$a = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$a = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$