Trigonométrie Exemples

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) < 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{50 x}{x + 2}$

Étape 2.2

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$50 x = 10^{2} (x + 2)$

Étape 2.3

Simplifiez $10^{2} (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$50 x = 100 (x + 2)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$50 x = 100 x + 100 \cdot 2$

Étape 2.3.3

Multipliez $100$ par $2$ .

$50 x = 100 x + 200$

Étape 2.4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $100 x$ des deux côtés de l’équation.

$50 x - 100 x = 200$

Étape 2.4.2

Soustrayez $100 x$ de $50 x$ .

$- 50 x = 200$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $- 50 x = 200$ par $- 50$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $- 50 x = 200$ par $- 50$ .

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 50$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{200}{- 50}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Divisez $200$ par $- 50$ .

$x = - 4$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (\frac{50 x}{x + 2}) - 2$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (\frac{50 x}{x + 2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{50 x}{x + 2} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$50 x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $50 x = 0$ par $50$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $50 x = 0$ par $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $0$ par $50$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.2.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 2$

Étape 3.2.5

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 2$

Étape 3.2.6

Déterminez le domaine de $\frac{50 x}{x + 2}$ .

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Étape 3.2.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{50 x}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.2.6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 3.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Étape 3.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 3.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{50 (- 4)}{(- 4) + 2} > 0$

Étape 3.2.8.1.3

Le côté gauche $100$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 3.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2} > 0$

Étape 3.2.8.2.3

Le côté gauche $- 50$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 3.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{50 (2)}{(2) + 2} > 0$

Étape 3.2.8.3.3

Le côté gauche $25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 3.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > 0$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{50 x}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{50 (- 6)}{(- 6) + 2}) < 2$

Étape 5.1.3

Le côté gauche $1.87506126$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{50 (- 3)}{(- 3) + 2}) < 2$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $2.17609125$ n’est pas inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2}) < 2$

Étape 5.3.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.3.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.3.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{50 (2)}{(2) + 2}) < 2$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $1.39794$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $x > 0$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 4 or x > 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Étape 8