Trigonométrie Exemples

$\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$3 - x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 5

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = 3$

$x = 2$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 1, 3, 2$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 9.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((0) - 1) (3 - (0))}{{((0) - 2)}^{2}} > 0$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.75$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((1.5) - 1) (3 - (1.5))}{{((1.5) - 2)}^{2}} > 0$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((2.5) - 1) (3 - (2.5))}{{((2.5) - 2)}^{2}} > 0$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((6) - 1) (3 - (6))}{{((6) - 2)}^{2}} > 0$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $- 0.9375$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 < x < 2$ ou $2 < x < 3$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$1 < x < 2 or 2 < x < 3$

Notation d’intervalle :

$(1, 2) \cup (2, 3)$

Étape 14