Trigonométrie Exemples

$\log_{2} (x + 1) < \log_{2} (6 - 2 x)$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{2} (x + 1) = \log_{2} (6 - 2 x)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x + 1 = 6 - 2 x$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x + 1 + 2 x = 6$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$3 x + 1 = 6$

Étape 2.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = 6 - 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$3 x = 5$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{2} (\frac{x + 1}{2 (3 - x)})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{2} (\frac{x + 1}{2 (3 - x)})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x + 1}{2 (3 - x)} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 1 = 0$

$3 - x = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.2.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 3.2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 1$

$x = 3$

Étape 3.2.6

Consolidez les solutions.

$x = - 1, 3$

Étape 3.2.7

Déterminez le domaine de $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ .

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Étape 3.2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 (3 - x) = 0$

Étape 3.2.7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 - x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.7.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 - x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.7.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.7.2.1.2.1.2

Divisez $3 - x$ par $1$ .

$3 - x = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.7.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.7.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 - x = 0$

Étape 3.2.7.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 3.2.7.2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.7.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.7.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.2.7.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.7.2.3.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 3.2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 3.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 3.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 3.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) + 1}{2 (3 - (- 4))} > 0$

Étape 3.2.9.1.3

Le côté gauche $- 0.2\overline{142857}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 1}{2 (3 - (0))} > 0$

Étape 3.2.9.2.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 3.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) + 1}{2 (3 - (6))} > 0$

Étape 3.2.9.3.3

Le côté gauche $- 1.1\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 3.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 3$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 (3 - x) = 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 - x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 - x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.1.2.1.2

Divisez $3 - x$ par $1$ .

$3 - x = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 - x = 0$

Étape 3.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- 1, 3)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} ((- 4) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot - 4)$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{5}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{5}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} ((0) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 0)$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $2.5849625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{3} < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{3} < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} ((2) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 2)$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $1.5849625$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} ((6) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 6)$

Étape 5.4.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.4.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{5}{3}$ Vrai

$\frac{5}{3} < x < 3$ Faux

$x > 3$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{5}{3}$ Vrai

$\frac{5}{3} < x < 3$ Faux

$x > 3$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- 1, \frac{5}{3})$

Étape 8