Trigonométrie Exemples

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} < \frac{5}{9}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour écrire $\frac{7}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} \cdot \frac{3}{3} < \frac{5}{9}$

Étape 1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{7}{x}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{x \cdot 3} < \frac{5}{9}$

Étape 1.2.2

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 3$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{4 + 21}{3 x} < \frac{5}{9}$

Étape 1.4.2

Additionnez $4$ et $21$ .

$\frac{25}{3 x} < \frac{5}{9}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $3 x$ .

$\frac{25}{3 x} (3 x) = \frac{5}{9} (3 x)$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{25}{3 x} (3 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Étape 3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$3 \frac{25}{3 (x)} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Étape 3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Étape 3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Étape 3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Étape 3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$25 = \frac{5}{9} (3 x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez $\frac{5}{9} (3 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 x)$

Étape 3.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 (x))$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$25 = \frac{5}{3 \cdot 3} (3 x)$

Étape 3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$25 = \frac{5}{3} x$

Étape 3.2.1.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $x$ .

$25 = \frac{5 x}{3}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5 x}{3} = 25$ .

$\frac{5 x}{3} = 25$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Simplifiez $\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Étape 4.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{5} \cdot 25$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez $\frac{3}{5} \cdot 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 (5))$

Étape 4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot 5)$

Étape 4.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \cdot 5$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = 15$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\frac{25}{3 x} - \frac{5}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{25}{3 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 15$

$x > 15$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{3 (- 2)} + \frac{7}{- 2} < \frac{5}{9}$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 4.1\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0.\overline{5}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 15$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 15$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{3 (2)} + \frac{7}{2} < \frac{5}{9}$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $4.1\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.\overline{5}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 15$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 15$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 18$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $18$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{3 (18)} + \frac{7}{18} < \frac{5}{9}$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $0.4\overline{629}$ est inférieur au côté droit $0.\overline{5}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 15$ Faux

$x > 15$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 15$ Faux

$x > 15$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > 15$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 0 or x > 15$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (15, \infty)$

Étape 10