Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{2} \cdot (\cot (x) + \tan (x)) = \csc (2 x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot (\cot (x) + \tan (x))$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)) = \csc (2 x)$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \csc (2 x)$

Étape 1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x)$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \csc (2 x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 5

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 6

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.1.2

Associez les exposants.

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Étape 7.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.3.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.4.2

Associez les exposants.

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Étape 7.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.4.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.5.2

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.6.1

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 7.6.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 8

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x)$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \sin (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 1$

Étape 11

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$