Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réorganisez les termes.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Étape 1.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Étape 1.1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}} + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.4

Développez $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.2.5.1.5.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.1.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.2

Additionnez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.7

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.8

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ dans le numérateur.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.9

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez $- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ .

$- 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Étape 5.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 2 \cdot 1 = - 1 - 1$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 = - 1 - 1$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2 = - 2$

Étape 7

Comme $- 2 = - 2$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$