Trigonométrie Exemples

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cos (x) = 4 \cos (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $\cos (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cos (x) - 4 \cos (x) = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $4 \cos (x)$ de $3 \cos (x)$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (x) = 0$

Étape 2

Ajoutez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 3.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ comme $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 6

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 7

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$