Trigonométrie Exemples

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.2

Développez $\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}$ par le conjugué de $1 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Associez.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Développez $(1 - i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 (1 + i) - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2.7

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 0 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - - 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ comme $\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Étape 4

Développez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $\ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$ comme $\ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

Étape 4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

Étape 4.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez $\ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$

Étape 6.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ par $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

$\frac{x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})} = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$