Trigonométrie Exemples

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} = \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Étape 1.2

Soustrayez $\sin^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.4

Réorganisez les termes.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Réécrivez ${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$ comme $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

$(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.2

Développez $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.3

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.3.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.3.3

Soustrayez $\cos (x) \sin (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.4

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.5

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.6.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2.7

Associez les termes opposés dans $1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

Étape 2.7.2

Additionnez $- 2 \cos (x) \sin (x)$ et $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 4

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$