Trigonométrie Exemples

${(7 \sin (x))}^{2} - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 \sin (x)$ .

$7^{2} \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Étape 1.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Étape 1.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Étape 1.1.4.2

Divisez $8 \sin (x)$ par $1$ .

$49 \sin^{2} (x) - (8 \sin (x)) = - 1$

Étape 1.1.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$49 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) = - 1$

Étape 2

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$49 {(u)}^{2} - 8 u = - 1$

Étape 3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$49 u^{2} - 8 u + 1 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 49$ , $b = - 8$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 1)}}{2 \cdot 49}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 49 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 49 \cdot 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 196$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $196$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 132}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 132$ comme $- 1 (132)$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 132}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (132)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $132$ comme $2^{2} \cdot 33$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $132$ .

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{33})}{2 \cdot 49}$

Étape 6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{2 \cdot 49}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$ .

$u = \frac{4 \pm i \sqrt{33}}{49}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$

$\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$ .

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Étape 10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$

Étape 10.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$ .

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Étape 11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$

Étape 11.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution