Trigonométrie Exemples

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $1 + \sin (x)$ est $1 + \sin (x)$ lui-même.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $1 - \sin (x)$ est $1 - \sin (x)$ lui-même.

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

$(1 - \sin (x))$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $1 + \sin (x)$ est $1 + \sin (x)$ lui-même.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ par $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ par $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $1 - \sin (x)$ à partir de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.2

Élevez $1 + \sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.3

Élevez $1 + \sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $1 + \sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 3.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

Étape 3.3.1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

Étape 3.3.1.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

Étape 3.3.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

Étape 3.3.1.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

Étape 3.3.1.11

Élevez $- \sin (x) + 1$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

Étape 3.3.1.12

Élevez $- \sin (x) + 1$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

Étape 3.3.1.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Étape 3.3.1.15

Réécrivez $- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ comme $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Comme $\sin (x)$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $\sin (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4 \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez ${(1 + \sin (x))}^{2}$ comme $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.2

Développez $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.3.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.3.1.4

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.3.2

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez ${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ comme $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.5

Développez $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.6.1.2.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.1.4

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.1.6

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.1.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.6.2

Soustrayez $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.8

Simplifiez

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Étape 4.2.2.8.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $\sin^{2} (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $1 + 2 \sin (x)$ et $0$ .

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ et $0$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $2 \sin (x)$ et $2 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2.5

Soustrayez $4 \sin (x)$ de $4 \sin (x)$ .

$0 = 0$

Étape 4.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$