Trigonométrie Exemples

$\frac{3 π}{4} + 2 n π = 12 \sin (x) \cos (x) - 3 \sqrt{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $12 \sin (x) \cos (x) - 3 \sqrt{2} = \frac{3 π}{4} + 2 n π$ .

$12 \sin (x) \cos (x) - 3 \sqrt{2} = \frac{3 π}{4} + 2 n π$

Étape 2

Ajoutez $3 \sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$12 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} + 2 n π + 3 \sqrt{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $12 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} + 2 n π + 3 \sqrt{2}$ par $\frac{1}{6}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $12 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} + 2 n π + 3 \sqrt{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$12 \sin (x) \cos (x) \frac{1}{6} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 \sin (x) \cos (x)$ .

$6 (2 \sin (x) \cos (x)) \frac{1}{6} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 (2 \sin (x) \cos (x)) \frac{1}{6} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sin (x) \cos (x) = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.2.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{6} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3 (2)} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3 \cdot 2} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{4 \cdot 2} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 n π \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 n π$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 (n π) \frac{1}{6} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 (n π) \frac{1}{2 (3)} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + 2 (n π) \frac{1}{2 \cdot 3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + n π \frac{1}{3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $n$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n}{3} π + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.6

Associez $\frac{n}{3}$ et $π$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 (\sqrt{2}) \frac{1}{6}$

Étape 3.3.1.7.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 (\sqrt{2}) \frac{1}{3 (2)}$

Étape 3.3.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + \sqrt{2} \frac{1}{2}$

Étape 3.3.1.8

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Simplifiez $\frac{π}{8} + \frac{n π}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $n$ et $π$ .

$\sin (2 x) = \frac{π}{8} + \frac{π n}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $\frac{π}{8}$ et $\frac{π n}{3}$ .

$\sin (2 x) = \frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 x = \arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1.1

Pour écrire $\frac{\sqrt{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4})}{2}$

Étape 6.3.1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4})}{2}$

Étape 6.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8})}{2}$

Étape 6.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π + \sqrt{2} \cdot 4}{8})}{2}$

Étape 6.3.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{π n}{3} + \frac{π + 4 \sqrt{2}}{8})}{2}$