Trigonométrie Exemples

${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2} = 20$

Étape 1

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2}$ comme $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ .

${((2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.2

Développez $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $2 \cos (t) (2 \cos (t))$ .

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Étape 2.1.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(4 \cos (t) \cos (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.1.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.1.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(4 {\cos (t)}^{1 + 1} + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (t)$ et $- 4 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.3

Ajoutez des parenthèses.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.4

Remettez dans l’ordre $\sin (t)$ et $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.6

Ajoutez des parenthèses.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.7

Remettez dans l’ordre $\sin (t)$ et $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.8

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9

Multipliez $- 4 \sin (t) (- 4 \sin (t))$ .

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Étape 2.1.3.1.9.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin (t) \sin (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9.2

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9.3

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 {\sin (t)}^{1 + 1} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $4 \sin (2 t)$ de $- 4 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.4

Réécrivez ${(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2}$ comme $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.5

Développez $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1.1

Multipliez $4 \cos (t) (4 \cos (t))$ .

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Étape 2.1.6.1.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos (t) \cos (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.1.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.1.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 {\cos (t)}^{1 + 1} + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.2

Ajoutez des parenthèses.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.3

Remettez dans l’ordre $\cos (t)$ et $2 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.5

Remettez dans l’ordre $2 \sin (t)$ et $4 \cos (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.6

Ajoutez des parenthèses.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.7

Remettez dans l’ordre $\cos (t)$ et $2 \sin (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.8

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.9

Multipliez $2 \sin (t) (2 \sin (t))$ .

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Étape 2.1.6.1.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (t) \sin (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.9.2

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.9.3

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 {\sin (t)}^{1 + 1})}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.1.6.2

Additionnez $4 \sin (2 t)$ et $4 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez les termes opposés dans $4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Additionnez $- 8 \sin (2 t)$ et $8 \sin (2 t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 0 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $4 \cos^{2} (t)$ et $0$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.2.2

Déplacez $4 \sin^{2} (t)$ .

${(4 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cos^{2} (t)$ .

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin^{2} (t)$ .

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.2.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t))$ .

${(4 (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.3

Réorganisez les termes.

${(4 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

${(4 \cdot 1 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Factorisez $16$ à partir de $16 \sin^{2} (t)$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.5.2

Factorisez $16$ à partir de $16 \cos^{2} (t)$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.5.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t))$ .

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

${(4 \cdot 1 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

${(4 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $16$ par $1$ .

${(4 + 16)}^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.2.1

Additionnez $4$ et $16$ .

$20^{2} = {(20)}^{2}$

Étape 2.7.2.2

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$400 = {(20)}^{2}$

Étape 3

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$400 = 400$

Étape 4

Comme $400 = 400$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $t$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$