Trigonométrie Exemples

$(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) + 0.2 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 2

Définissez $\sin (x) + 0.2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\sin (x) + 0.2$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 0.2 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\sin (x) + 0.2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $0.2$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 0.2$

Étape 2.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 0.2)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Évaluez $\arcsin (- 0.2)$ .

$x = - 0.20135792$

Étape 2.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 2.2.5.2

L’angle résultant de $3.34295057$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ .

$x = 3.34295057$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.20135792$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.20135792 + 2 π$

Étape 2.2.7.2

Soustrayez $0.20135792$ de $2 π$ .

$6.08182738$

Étape 2.2.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 6.08182738$

Étape 2.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\cos (2 x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (2 x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (2 x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) = 1$

Étape 3.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - 0$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Simplifiez

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Étape 3.2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Étape 3.2.6.1.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$2 x = 2 π$

Étape 3.2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.6.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.2.3.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$x = π$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez $π n$ et $π + π n$ en $π n$ .

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n$ , pour tout entier $n$