Trigonométrie Exemples

$\sin (x) + \sin (2 x) > 0$

Étape 1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) > 0 = 0$

Étape 2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $1 + 2 \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $1 + 2 \cos (x)$ égal à $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $1 + 2 \cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 5.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 5.2.6.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$

$\frac{2 π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{2 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{2 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (1) + \sin (2 (1)) > 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $1.75076841$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{2 π}{3} < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{2 π}{3} < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (3) + \sin (2 (3)) > 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 0.13829549$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < \frac{4 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < \frac{4 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (4) + \sin (2 (4)) > 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $0.23255575$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) + \sin (2 (5)) > 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $- 1.50294538$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.5

Testez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7$

Étape 9.5.2

Remplacez $x$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (7) + \sin (2 (7)) > 0$

Étape 9.5.3

Le côté gauche $1.64759395$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Vrai

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Faux

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Vrai

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Vrai

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Vrai

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Faux

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Vrai

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Étape 11

Associez les intervalles.

$π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n or 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12