Trigonométrie Exemples

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) < 0$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Séparez les fractions.

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 6

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0 \sec (x)$

Étape 7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0$

Étape 8

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\tan (x) < - \sqrt{3}$

Étape 9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x < \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x < - \frac{π}{3}$

Étape 11

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 12

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 12.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 12.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 13

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 14

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 14.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + π$

Étape 14.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 14.3

Associez les fractions.

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Étape 14.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 14.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 14.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 14.4.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 14.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 15

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Consolidez les réponses.

$x = \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 17

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

Étape 18

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

Étape 19

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution