Trigonométrie Exemples

$- \sin (4 x) > 0$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $- \sin (4 x) > 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (4 x) > 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \sin (4 x)}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (4 x)}{1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.2

Divisez $\sin (4 x)$ par $1$ .

$\sin (4 x) < \frac{0}{- 1}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\sin (4 x) < 0$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$4 x < \arcsin (0)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$4 x < 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $4 x < 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 x < 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{0}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x < 0$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$4 x = π - 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 x = π + 0$

Étape 6.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$4 x = π$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $4 x = π$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = π$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (4 x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.39$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0.39$ dans l’inégalité d’origine.

$- \sin (4 (0.39)) > 0$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.99994172$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$- \sin (4 (1)) > 0$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $0.75680249$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Faux

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$0 < x < \frac{π}{4}$ Faux

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} < x < \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 13