Trigonométrie Exemples

$x (1 - \ln (x)) > 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - \ln (x) = 0$

Étape 2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3

Définissez $1 - \ln (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $1 - \ln (x)$ égal à $0$ .

$1 - \ln (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $1 - \ln (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Étape 3.2.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $\ln (x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Étape 3.2.5

Réécrivez l’équation comme $x = e^{1}$ .

$x = e$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - \ln (x)) > 0$ vraie.

$x = 0, e$

Étape 5

Déterminez le domaine de $x (1 - \ln (x))$ .

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Étape 5.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < e$

$x > e$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (1 - \ln (- 2)) > 0$

Étape 7.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 7.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 7.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < e$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < e$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$(1) (1 - \ln (1)) > 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > e$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > e$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$(5) (1 - \ln (5)) > 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 3.04718956$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < e$ Vrai

$x > e$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < e$ Vrai

$x > e$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < e$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < e$

Notation d’intervalle :

$(0, e)$

Étape 10