Trigonométrie Exemples

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) < 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}$

Étape 2.2

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$5 (3 - 6 x) = 10^{2} (x - 2)$

Étape 2.3

Simplifiez $10^{2} (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 (x - 2)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (3 - 6 x) = 100 x + 100 \cdot - 2$

Étape 2.3.3

Multipliez $100$ par $- 2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 x - 200$

Étape 2.4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $100 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 (3 - 6 x) - 100 x = - 200$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 3 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$15 - 30 x - 100 x = - 200$

Étape 2.4.3

Soustrayez $100 x$ de $- 30 x$ .

$15 - 130 x = - 200$

Étape 2.5

Factorisez $5$ à partir de $15 - 130 x$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$5 (3) - 130 x = - 200$

Étape 2.5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 130 x$ .

$5 (3) + 5 (- 26 x) = - 200$

Étape 2.5.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (3) + 5 (- 26 x)$ .

$5 (3 - 26 x) = - 200$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $5 (3 - 26 x) = - 200$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $5 (3 - 26 x) = - 200$ par $5$ .

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $3 - 26 x$ par $1$ .

$3 - 26 x = \frac{- 200}{5}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Divisez $- 200$ par $5$ .

$3 - 26 x = - 40$

Étape 2.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.7.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 26 x = - 40 - 3$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 40$ .

$- 26 x = - 43$

Étape 2.8

Divisez chaque terme dans $- 26 x = - 43$ par $- 26$ et simplifiez.

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Étape 2.8.1

Divisez chaque terme dans $- 26 x = - 43$ par $- 26$ .

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.1

Annulez le facteur commun de $- 26$ .

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Étape 2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Étape 2.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 43}{- 26}$

Étape 2.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{43}{26}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}) - 2$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$1 - 2 x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Étape 3.2.6

Consolidez les solutions.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Étape 3.2.7

Déterminez le domaine de $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ .

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Étape 3.2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 3.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Étape 3.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 0)}{(0) - 2} > 0$

Étape 3.2.9.1.3

Le côté gauche $- 7.5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 3.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 1)}{(1) - 2} > 0$

Étape 3.2.9.2.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 4)}{(4) - 2} > 0$

Étape 3.2.9.3.3

Le côté gauche $- 52.5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 3.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{2} < x < 2$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(\frac{1}{2}, 2)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

$\frac{43}{26} < x < 2$

$x > 2$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 0)}{(0) - 2}) < 2$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1)}{(1) - 2}) < 2$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $1.17609125$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{43}{26} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{43}{26} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.83$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $1.83$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1.83)}{(1.83) - 2}) < 2$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $2.37052397$ n’est pas inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 4)}{(4) - 2}) < 2$

Étape 5.4.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.4.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Vrai

$\frac{43}{26} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Vrai

$\frac{43}{26} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{2}, \frac{43}{26})$

Étape 8