Trigonométrie Exemples

$400000 < - 2 p^{2} + 6000 p$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $p$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$- 2 p^{2} + 6000 p > 400000$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 2 p^{2} + 6000 p = 400000$

Étape 3

Soustrayez $400000$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 p^{2} + 6000 p - 400000 = 0$

Étape 4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 p^{2} + 6000 p - 400000$ .

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Étape 4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $6000 p$ .

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 400000 = 0$

Étape 4.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 400000$ .

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (p^{2}) - 2 (- 3000 p)$ .

$- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 (200000)$ .

$- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $p^{2} - 3000 p + 200000$ par $1$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = 0$

Étape 6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3000$ et $c = 200000$ dans la formule quadratique et résolvez pour $p$ .

$\frac{3000 \pm \sqrt{{(- 3000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 200000)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 3000$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $200000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $800000$ de $9000000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{8200000}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $8200000$ comme $200^{2} \cdot 205$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $40000$ à partir de $8200000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{40000 (205)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $40000$ comme $200^{2}$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 205}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$ .

$p = 1500 \pm 100 \sqrt{205}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$p = 1500 + 100 \sqrt{205}, 1500 - 100 \sqrt{205}$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$p = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $p$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$400000 < - 2 {(0)}^{2} + 6000 (0)$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $400000$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$p = 71$

Étape 11.2.2

Remplacez $p$ par $71$ dans l’inégalité d’origine.

$400000 < - 2 {(71)}^{2} + 6000 (71)$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $400000$ est inférieur au côté droit $415918$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$p = 2934$

Étape 11.3.2

Remplacez $p$ par $2934$ dans l’inégalité d’origine.

$400000 < - 2 {(2934)}^{2} + 6000 (2934)$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $400000$ n’est pas inférieur au côté droit $387288$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Faux

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Vrai

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Faux

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Faux

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Vrai

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Notation d’intervalle :

$(1500 - 100 \sqrt{205}, 1500 + 100 \sqrt{205})$

Étape 14