Trigonométrie Exemples

$4 x^{2} + 11 x - 3 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x^{2} + 11 x - 3 = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ et dont la somme est $b = 11$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x$ .

$4 x^{2} + 11 (x) - 3 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $11$ comme $- 1$ plus $12$

$4 x^{2} + (- 1 + 12) x - 3 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 1 x + 12 x - 3 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 x^{2} - 1 x) + 12 x - 3 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (4 x - 1) + 3 (4 x - 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{4}, - 3$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(- 6)}^{2} + 11 (- 6) - 3 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $75$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(0)}^{2} + 11 (0) - 3 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(3)}^{2} + 11 (3) - 3 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $66$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$x > \frac{1}{4}$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$x > \frac{1}{4}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

Notation d’intervalle :

$(- 3, \frac{1}{4})$

Étape 11