Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = {(\frac{x}{r})}^{2} + {(\frac{y}{r})}^{2}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez ${(\frac{x}{r})}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} = {(\frac{y}{r})}^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez ${(\frac{y}{r})}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Étape 2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{r}$ .

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{r}$ .

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = - 1$

Étape 3.1.2

Ajoutez $\frac{y^{2}}{r^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{r^{2}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x^{2}}{r^{2}}}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $\frac{x^{2}}{r^{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$ comme $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés par $r^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $r^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Étape 3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $(1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 1 r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $r^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $r^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ dans le numérateur.

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = r^{2} - y^{2}$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{r^{2} - y^{2}}$

Étape 3.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Étape 3.5.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Étape 3.5.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$