Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez

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Étape 1.1.2.3.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.2.3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.3

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.5

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} - \cot (x) = 0$

Étape 1.1.6

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6

Multipliez $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 7

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 8

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 10

Multipliez $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

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Étape 10.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 10.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 10.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 12.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

Étape 13

Multipliez $\sin (x)$ par $0$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 14

Remplacez le $2 \sin^{2} (x)$ par $2 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 15.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 15.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 16

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 17

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 = 0$

Étape 18

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$

Étape 19

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 19.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 19.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 19.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 19.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 19.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 19.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{2}{3}$

Étape 20

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 21

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 21.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 21.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 21.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 21.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 21.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 21.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 21.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 21.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 21.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 21.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 21.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 21.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 21.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 21.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 21.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 21.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 21.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 22

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 22.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 22.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 22.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 23

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 24

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 24.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

Étape 24.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 24.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Étape 24.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 24.4

Résolvez $x$ .

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Étape 24.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 24.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.6154797$ .

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Étape 24.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.6154797$

Étape 24.4.2.2

Soustrayez $0.6154797$ de $6.2831853$ .

$x = 5.66770559$

Étape 24.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 24.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 24.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 24.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 24.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 24.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 25

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 25.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

Étape 25.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 25.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 2.52611294$

Étape 25.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Étape 25.4

Résolvez $x$ .

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Étape 25.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Étape 25.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.52611294$ .

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Étape 25.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.52611294$

Étape 25.4.2.2

Soustrayez $2.52611294$ de $6.2831853$ .

$x = 3.75707236$

Étape 25.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 25.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 25.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 25.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 25.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 25.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 26

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 27

Consolidez les solutions.

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Étape 27.1

Consolidez $0.6154797 + 2 π n$ et $3.75707236 + 2 π n$ en $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 27.2

Consolidez $5.66770559 + 2 π n$ et $2.52611294 + 2 π n$ en $2.52611294 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 28

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$ vrai.

Aucune solution