Trigonométrie Exemples

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos (3 x) = 1$

Étape 1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x))$ .

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Étape 2.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.3

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\cos (3 x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3} \cos (3 x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.5

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.7

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.11.2

Divisez $\cos (3 x)$ par $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$3 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$3 x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 7.1.5

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$3 x = \frac{11 π}{6}$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{11 π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{11 π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{11 π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{11 π}{18}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (3 x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (3 x)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$