Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}}^{2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$ comme ${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1^{2} - \cos^{2} (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à ${(1 - \cos (x))}^{2}$ et $1 - \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1.3.1.1

Factorisez $1 - \cos (x)$ à partir de ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.3.1.2.1

Factorisez $1 - \cos (x)$ à partir de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Simplifiez

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

Étape 3.3.1.3

Séparez les fractions.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.3.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1} \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.5.1

Divisez ${(1 - \cos (x))}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(1 - \cos (x))}^{2} \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.5.2

Réécrivez ${(1 - \cos (x))}^{2}$ comme $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.6

Développez $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.4

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 3.3.1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.4.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.7.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 1 \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.9

Simplifiez

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Étape 3.3.1.9.1

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 3.3.1.9.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.3.1.9.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.3.1.9.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.3.1.9.5

Associez $\cos^{2} (x)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.3.1.10

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ à $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $1 + \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} (1 + \cos (x)) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + \cos (x)$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} (1 + \cos (x)) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \cos (x) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $(\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 - \cos (x) = ({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 - \cos (x) = (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.4

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.7

Multipliez $- 2 \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.7.1

Associez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ et $- 2$ .

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.7.2

Associez $\frac{- 2}{\sin^{2} (x)}$ et $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{(2) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.9

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (1 + \cos (x))$

Étape 4.2.2.1.2

Développez $(\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (1 + \cos (x))$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ par $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.2

Associez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ et $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.4

Multipliez $- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1.4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.2.1.3.1.5

Multipliez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ par $1$ .

Étape 4.2.2.1.3.1.6

Multipliez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1.6.1

Associez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ et $\cos (x)$ .

Étape 4.2.2.1.3.1.6.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.3.1.6.2.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1.6.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 4.2.2.1.3.1.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.2.2.1.3.1.6.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

Étape 4.2.2.1.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.1.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.3.2.2

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.3.2.3

Additionnez $- 2 \cos^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x) - \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.4.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.2.1.4.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) - \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$1 - \cos (x) = \frac{1 (1 - \cos (x)) - \cos^{2} (x) (1 - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $1 - \cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.5

Associez les exposants.

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Étape 4.2.2.1.4.5.1

Élevez $1 - \cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1} (1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.5.2

Élevez $1 - \cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1} {(1 - \cos (x))}^{1} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1 + 1} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2.1.4.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$1 - \cos (x) - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2

Simplifiez $1 - \cos (x) - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour écrire $- \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 - \cos (x) \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.2

Associez $- \cos (x)$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - {(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.4.1.1

Réécrivez ${(1 - \cos (x))}^{2}$ comme $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - ((1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.2

Développez $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.4.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.4

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 4.3.2.4.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.4.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.3.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - (- 2 \cos (x)) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.3.2.4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 - (- 2 \cos (x)) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.6

Développez $(- 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.2

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.4

Multipliez $2 \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 4.3.2.4.1.7.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.6

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.4.1.7.6.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.6.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.3.2.4.1.7.6.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.7.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.8

Additionnez $- \cos (x)$ et $2 \cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.9

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.10

Déplacez $\cos (x)$ .

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.11

Remettez dans l’ordre $- \cos (x) \sin^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

$1 + \frac{\cos (x) - \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.12

Multipliez par $1$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.13

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.14

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cdot (1 - \sin^{2} (x)) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.15

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + \frac{\cos (x) \cdot \cos^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.16

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.4.1.16.1

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.3.2.4.1.16.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cdot \cos^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.16.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2} - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.16.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 + \frac{\cos^{3} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.17

Associez les termes opposés dans $\cos^{3} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)$ .

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Étape 4.3.2.4.1.17.1

Soustrayez $\cos^{3} (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$1 + \frac{0 - 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.17.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$1 + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.18

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$1 + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.19

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$1 + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.20

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$1 + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.21

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$1 + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.1.22

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.2

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 4.3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Étape 4.3.2.4.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 = 0$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 = 0$

Étape 4.3.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$