Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 2.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\sqrt{\sqrt{3}}$ comme $\sqrt[4]{3}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 2.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $4$ .

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Étape 2.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.7.1.2

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}}$ comme $2^{\frac{2}{4}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Étape 2.7.1.3

Réécrivez $2^{\frac{2}{4}}$ comme $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Étape 2.7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 2^{2}}}{2}$

Étape 2.7.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 4}}{2}$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Étape 2.8.2

Associez $i$ et $\frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}, - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$ .

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Étape 5.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$

Étape 5.2

Le cosinus inverse de $\arccos (\frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{i \sqrt[4]{12}}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$

Étape 6.2

Le cosinus inverse de $\arccos (- \frac{i \sqrt[4]{12}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution