Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = \tan (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \tan (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)}$ .

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Étape 4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} = \sin (x)$

Étape 6

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 7

Simplifiez $\frac{\cos^{2} (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)} - \sin (x)$ .

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Étape 7.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 7.2

Pour écrire $- \sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\csc (x) - \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\csc (x) - \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.3

Associez $- \sin (x)$ et $\frac{\csc (x) - \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} + \frac{- \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \csc (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 7.5.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\cos^{2} (x) - (\sin (x) \csc (x)) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $\csc (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\csc (x) \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.2.3

Réécrivez $- \sin (x) \csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos^{2} (x) - (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.2.4

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.3

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 7.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.3.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 + \sin^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.8

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 - \sin^{2} (x))}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.5.10

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\csc (x) - \sin (x)} = 0$

Étape 7.6

Divisez $0$ par $\csc (x) - \sin (x)$ .

$0 = 0$

Étape 8

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$