Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = (\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (2 x) = ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) = (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan^{2} (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.1.6

Associez $- 2$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (2 x) = \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.3

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $\cos (2 x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $\cos (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Étape 3.1.2

Soustrayez $\cos (2 x)$ de $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Étape 3.2

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$