Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\cot (x)}{\csc (x) - 1}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\csc (x) - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

Étape 1.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\cot (x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = (\frac{1}{\sin (x)} + 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$ .

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Étape 4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = 1 + \sin (x)$

Étape 8

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 = \sin (x)$

Étape 8.2

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 - \sin (x) = 0$

Étape 9

Simplifiez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 - \sin (x)$ .

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 - \sin (x) = 0$

Étape 9.1.2

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 - \sin (x) = 0$

Étape 9.1.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cot (x) - 1 - \sin (x) = 0$

Étape 9.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\csc (x) - 1} \cot (x) - 1 - \sin (x) = 0$

Étape 9.1.5

Associez $\frac{\cos (x)}{\csc (x) - 1}$ et $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{\csc (x) - 1} - 1 - \sin (x) = 0$

Étape 9.2

Pour écrire $- \sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{\csc (x) - 1} - \sin (x) \cdot \frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.3

Associez $- \sin (x)$ et $\frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{\csc (x) - 1} + \frac{- \sin (x) (\csc (x) - 1)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cot (x) - \sin (x) (\csc (x) - 1)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \csc (x) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\cos (x) \cot (x) - (\sin (x) \csc (x)) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) - (\csc (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5.2.3

Réécrivez $- \sin (x) \csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \cot (x) - (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5.2.4

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 \cdot 1 - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5.3

Multipliez $- \sin (x) \cdot - 1$ .

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Étape 9.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 \cdot 1 + 1 \sin (x)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 \cdot 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 9.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

Étape 10

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1}}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12.2

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 12.2.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 14

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x)$ .

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 14.2

Associez.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x))}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 16

Simplifiez en annulant.

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Étape 16.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 16.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 16.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 16.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.2

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + 1}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + 1}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.9

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + 1}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + 1}{1 - 1 \cdot \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + 1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 19.1

Annulez le facteur commun à $- \sin (x) + 1$ et $1 - \sin (x)$ .

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Étape 19.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19.1.3

Réécrivez l’expression.

$1 (\frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 20

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 21

Séparez les fractions.

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 22

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 23

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24

Séparez les fractions.

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 25

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 26

Divisez $0$ par $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Étape 27

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0$

Étape 28

Soustrayez $\sec (x)$ de $\sec (x)$ .

$0 = 0$

Étape 29

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 30

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$