Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 1.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = (\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})}$ .

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Étape 4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 - \sin (x)$

Étape 9

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 = - \sin (x)$

Étape 9.2

Ajoutez $\sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 10

Simplifiez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x)$ .

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 10.1.2

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x)}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 10.1.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cot (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 10.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \csc (x)} \cot (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 10.1.5

Associez $\frac{\cos (x)}{1 + \csc (x)}$ et $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 + \csc (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 10.2

Pour écrire $\sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 + \csc (x)} + \frac{\sin (x) (1 + \csc (x))}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) (1 + \csc (x))}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \csc (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Étape 10.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \sin (x) \csc (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Étape 10.4.3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.3.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \csc (x) \sin (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Étape 10.4.3.2

Réécrivez $\sin (x) \csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Étape 10.4.3.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Étape 11

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)}}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13.2

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 13.2.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 13.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 14

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 15

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $\sin (x)$ .

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 15.2

Associez.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17

Simplifiez en annulant.

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Étape 17.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 17.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 17.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18.7

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 19.1

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19.2

Annulez le facteur commun à $1 + \sin (x)$ et $\sin (x) + 1$ .

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Étape 19.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 (\frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19.3

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 20

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 21

Séparez les fractions.

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 22

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 23

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24

Séparez les fractions.

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 25

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 26

Divisez $0$ par $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Étape 27

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0$

Étape 28

Soustrayez $\sec (x)$ de $\sec (x)$ .

$0 = 0$

Étape 29

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 30

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$