Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} = \cot (x)$

Étape 1

Soustrayez $\cot (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} - \cot (x)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\sqrt{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.3

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\sqrt{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.4.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sqrt{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.5.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$ comme $\frac{\sqrt{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\sqrt{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.8

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}$ par $\frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}} \cdot \frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.9.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}$ par $\frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)} \sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.2

Élevez $\sqrt{\sin (x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1} \sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.3

Élevez $\sqrt{\sin (x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1} {\sqrt{\sin (x)}}^{1}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1 + 1}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{2}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.6

Réécrivez ${\sqrt{\sin (x)}}^{2}$ comme $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sin (x)}$ comme ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{2}{2}}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{2}{2}}} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin^{1} (x)} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.9.6.5

Simplifiez

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin (x)} - \cot (x) = 0$

Étape 2.1.10

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Séparez les fractions.

$\frac{\sqrt{\sin (x)}}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2.2

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\sqrt{\sin (x)}}{1} \cot (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2.3

Divisez $\sqrt{\sin (x)}$ par $1$ .

$\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \cot (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \cot (x)$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sin (x)}$ comme ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x) - \cot (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\cot (x)$ à partir de ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x) - \cot (x)$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $\cot (x)$ à partir de ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x)$ .

$\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - \cot (x) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $- \cot (x)$ .

$\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} + \cot (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} + \cot (x) \cdot - 1$ .

$\cot (x) ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ égal à $0$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} = 1$

Étape 6.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.1.1

Simplifiez ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 6.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 6.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{1} (x) = 1^{2}$

Étape 6.2.3.1.1.2

Simplifiez

$\sin (x) = 1^{2}$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (x) = 1$

Étape 6.2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 6.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.7

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.7.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.7.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.7.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.7.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 6.2.7.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cot (x) ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$