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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2
Étape 2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 2.1.2
Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par .
Étape 2.1.3
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 2.1.4
Simplifiez
Étape 2.1.4.1
Divisez par .
Étape 2.1.4.2
Associez et .
Étape 2.1.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.5.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.5.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.5.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.5.4
Additionnez et .
Étape 2.1.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.7
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.1.8
Multipliez par .
Étape 2.1.9
Associez et simplifiez le dénominateur.
Étape 2.1.9.1
Multipliez par .
Étape 2.1.9.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.9.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.9.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.9.5
Additionnez et .
Étape 2.1.9.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.9.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 2.1.9.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.9.6.3
Associez et .
Étape 2.1.9.6.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.1.9.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.9.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.9.6.5
Simplifiez
Étape 2.1.10
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 2.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.2.1
Séparez les fractions.
Étape 2.2.2
Convertissez de à .
Étape 2.2.3
Divisez par .
Étape 2.2.4
Convertissez de à .
Étape 3
Étape 3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 3.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 4
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez égal à .
Étape 5.2
Résolvez pour .
Étape 5.2.1
Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur de la cotangente.
Étape 5.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 5.2.3
La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 5.2.4
Simplifiez .
Étape 5.2.4.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.2.4.2
Associez les fractions.
Étape 5.2.4.2.1
Associez et .
Étape 5.2.4.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.4.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.2.4.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 5.2.4.3.2
Additionnez et .
Étape 5.2.5
Déterminez la période de .
Étape 5.2.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 5.2.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 5.2.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 5.2.5.4
Divisez par .
Étape 5.2.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 6
Étape 6.1
Définissez égal à .
Étape 6.2
Résolvez pour .
Étape 6.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 6.2.2
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 6.2.3
Simplifiez l’exposant.
Étape 6.2.3.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.2.3.1.1
Simplifiez .
Étape 6.2.3.1.1.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 6.2.3.1.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.3.1.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.2.3.1.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.3.1.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.3.1.1.2
Simplifiez
Étape 6.2.3.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.2.3.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 6.2.4
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 6.2.5
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.2.5.1
La valeur exacte de est .
Étape 6.2.6
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 6.2.7
Simplifiez .
Étape 6.2.7.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 6.2.7.2
Associez les fractions.
Étape 6.2.7.2.1
Associez et .
Étape 6.2.7.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2.7.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.2.7.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 6.2.7.3.2
Soustrayez de .
Étape 6.2.8
Déterminez la période de .
Étape 6.2.8.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 6.2.8.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 6.2.8.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 6.2.8.4
Divisez par .
Étape 6.2.9
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 8
Consolidez les réponses.
, pour tout entier