Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\tan (x) + 1$ .

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} (\tan (x) + 1) = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $\tan (x) + 1$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} (\tan (x) + 1) = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \tan (x) + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.2

Associez $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3

Multipliez $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 \tan (x) - \cot (x) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - \cot (x) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - (\cot (x) \tan (x)) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.2.3.2

Réécrivez $- \cot (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.2.3.3

Annulez les facteurs communs.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - 1 \cdot 1 + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - 1 + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.3

Associez les termes opposés dans $\tan (x) - 1 + 1 - \cot (x)$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) + 0 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 2.2.1.3.2

Additionnez $\tan (x)$ et $0$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\tan (x) = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \cot (x)} + 1$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $\cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Multipliez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ par $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.3.2

Associez.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) (1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + 1$

Étape 3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.1.5.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) (\sin (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.6.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.11

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.5.11.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Étape 3.3.1.5.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)} + 1$

Étape 3.3.1.5.12

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{1} (x) \cos (x)} + 1$

Étape 3.3.1.5.13

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 1$

Étape 3.3.1.5.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + {\cos (x)}^{1 + 1}} + 1$

Étape 3.3.1.5.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)} + 1$

Étape 3.3.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (x)$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)} + 1$

Étape 3.3.1.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.3.1.7.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos^{2} (x)} + 1$

Étape 3.3.1.7.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) \cos (x)} + 1$

Étape 3.3.1.7.1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1 + \cos (x))} + 1$

Étape 3.3.1.7.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))} + 1$

Étape 3.3.1.8

Annulez le facteur commun de $\sin (x) + \cos (x)$ .

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Étape 3.3.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))} + 1$

Étape 3.3.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1$

Étape 3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \sin (x) - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1$

Étape 3.8

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \sin (x) - \cos (x) + \cos (x)$

Étape 3.9

Associez les termes opposés dans $\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)$ .

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Étape 3.9.1

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\sin (x) = \sin (x) + 0$

Étape 3.9.2

Additionnez $\sin (x)$ et $0$ .

$\sin (x) = \sin (x)$

Étape 3.10

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$x = x$

Étape 3.11

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.11.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = 0$

Étape 3.11.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Étape 3.12

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$