Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} = \tan (y) + \cot (x)$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\tan (x) \cdot \cot (y)$ .

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} (\tan (x) \cdot \cot (y)) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $\tan (x) \cdot \cot (y)$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} (\tan (x) \cdot \cot (y)) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) + \cot (y) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) (\tan (x) \cot (y)) + \cot (x) (\tan (x) \cot (y))$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1.1

Réécrivez $\cot (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (y)$

Étape 2.2.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + 1 \cot (y)$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $\cot (y)$ par $1$ .

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + \cot (y)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $\tan (y) \tan (x) \cot (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\tan (x) + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez $\cot (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez $\tan (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.5

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cot (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.6

Réécrivez $\cot (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.7

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 3.2.1.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.7.2

Factorisez $\sin (y)$ à partir de $- \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{\sin (y) (- \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{\sin (y) (- \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)} \cos (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.8

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Étape 3.2.1.1.8.1

Factorisez $\cos (y)$ à partir de $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (y) \cos (x)} \cos (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (y) \cos (x)} \cos (y) = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \cot (y)$

Étape 3.2.1.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cot (y)$

Étape 3.2.1.2

Associez les termes opposés dans $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$0 + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$\frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $\cot (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (y)$ .

$\sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (y) = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (y) = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (y) = \cos (y)$

Étape 3.7

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$y = y$

Étape 3.8

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.8.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y - y = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $y$ de $y$ .

$0 = 0$

Étape 3.9

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Toujours vrai

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$