Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.3.2

Associez.

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1}{\sin (x) + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1}{\sin (x) + \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1}{\sin (x) + \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1}{\sin (x) - 1 + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - 1 \cdot \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.6.2

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x) \cdot 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1.1.7

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 4

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + 1$

Étape 8

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 11

Divisez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 12

Associez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 14.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 15

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

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Étape 15.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 15.1.1.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 15.1.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.1.1.3.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 15.1.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{1} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 15.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 15.1.2

Multipliez $\sin (x) + 1 - \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 16.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 17

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 18

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 20

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 20.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 21

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 21.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 21.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + 1$

Étape 22

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 23

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 24

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 25

Divisez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 26

Associez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 27

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 28

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 28.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 29

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 29.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

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Étape 29.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 29.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 29.1.1.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 29.1.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 29.1.1.3.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 29.1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 29.1.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{1} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 29.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 29.1.2

Multipliez $\sin (x) + 1 - \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 30

Simplifiez le côté droit.

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Étape 30.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 30.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 30.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 31

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 32

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 33

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 34

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 34.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 34.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 35

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 35.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 35.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + 1$

Étape 36

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 37

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 38

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 39

Divisez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 40

Associez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 41

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 42

Simplifiez chaque terme.

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Étape 42.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 42.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 43

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 43.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

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Étape 43.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 43.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 43.1.1.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 43.1.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 43.1.1.3.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 43.1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 43.1.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{1} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 43.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 43.1.2

Multipliez $\sin (x) + 1 - \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 44

Simplifiez le côté droit.

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Étape 44.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 44.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 44.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 45

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 46

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 47

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 48

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 48.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 48.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 49

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 49.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 49.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sin (x) + 1$

Étape 50

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 51

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 52

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 53

Divisez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 54

Associez $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 55

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 56

Simplifiez chaque terme.

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Étape 56.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 56.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 57

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 58

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 59

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 59.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))$ .

$\frac{\cos (x) (\sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 59.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (\sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 59.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sec (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 60

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 61

Factorisez $\frac{1}{\cos (x)}$ à partir de $\frac{\frac{1}{\cos (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 62

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63

Simplifiez chaque terme.

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Étape 63.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63.2

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 63.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 63.5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Étape 63.6

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 63.7

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 63.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 63.8.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 63.8.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 63.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 63.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 64

Simplifiez chaque terme.

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Étape 64.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 64.2

Séparez les fractions.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 64.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 64.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 64.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \sec (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 64.6

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \sec (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 64.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 65

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))}}{\cos (x)} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 66

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 67

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 68

Divisez $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))}$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} \cdot \sec (x) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 69

Associez $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec (x)}{\cos (x) (\sin (x) - 1 + \cos (x))} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 70

Séparez les fractions.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 71

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 72

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 73

Simplifiez

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Étape 73.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot (\sec (x) (\frac{1}{\cos (x)})) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 73.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot (\sec (x) \sec (x)) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 73.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot (\sec (x) \sec (x)) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 73.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot (\sec (x) \sec (x)) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 73.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot {\sec (x)}^{1 + 1} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 73.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} \cdot \sec^{2} (x) = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 74

Associez $\frac{\sin (x) + 1 - \cos (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec^{2} (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 75

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(\sin (x) + 1 - \cos (x)) \sec^{2} (x)}{\sin (x) - 1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76

Simplifiez chaque terme.

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Étape 76.1

Séparez les fractions.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\tan (x)}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\tan (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.3

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\tan (x)}{1} \cdot (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\tan (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.5

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \tan (x) (\frac{1}{\cos (x) \cos (x)}) + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 76.7.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.7.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.8

Associez.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.9

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 76.9.1

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 76.9.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x) \cdot 1}{{\cos (x)}^{1 + 2}} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.10

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 76.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 76.11.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\cos (x)}$

Étape 76.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x)}$

Étape 76.11.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x)}$

Étape 76.12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 76.13

Associez.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 76.14

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 76.14.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 76.14.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 76.14.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2 + 1}}$

Étape 76.14.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1 \cdot 1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 76.15

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 77

Simplifiez chaque terme.

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Étape 77.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 77.2

Séparez les fractions.

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 77.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 77.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 77.5

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 77.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 78

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan^{2} (x)) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} = \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 79

Multipliez les deux côtés par $\sin (x) - 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \tan^{2} (x)) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} (\sin (x) - 1 + \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80

Simplifiez

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Étape 80.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 80.1.1

Simplifiez $\frac{(1 + \tan^{2} (x)) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} (\sin (x) - 1 + \cos (x))$ .

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Étape 80.1.1.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x) - 1 + \cos (x)$ .

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Étape 80.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \tan^{2} (x)) (\sin (x) + 1 - \cos (x))}{\sin (x) - 1 + \cos (x)} (\sin (x) - 1 + \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(1 + \tan^{2} (x)) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.2

Réorganisez les termes.

$(\tan^{2} (x) + 1) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x) (\sin (x) + 1 - \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\sin (x) + 1 - \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 80.1.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} (\sin (x) + 1 - \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)} (- \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.7

Simplifiez

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Étape 80.1.1.7.1

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)} (- \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.7.2

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} (- \cos (x)) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 80.1.1.8.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 80.1.1.8.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.8.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.8.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.8.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 80.1.1.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9.2

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9.6

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sec (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.1.1.9.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 80.2.1

Simplifiez $(\sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$ .

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Étape 80.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 80.2.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.5

Associez.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{1 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.6

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 80.2.1.1.6.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 80.2.1.1.6.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{1 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{1 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{1 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.1.7

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = (\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$

Étape 80.2.1.2

Développez $(\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}) (\sin (x) - 1 + \cos (x))$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 80.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 80.2.1.3.1.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$ .

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Étape 80.2.1.3.1.1.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ et $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 80.2.1.3.1.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

Étape 80.2.1.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.6

Associez $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cdot - 1 + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.7

Associez $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ et $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{1}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 80.2.1.3.1.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{1}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{1}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 80.2.1.3.1.9.3

Réécrivez l’expression.

Étape 80.2.1.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 80.2.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \frac{1}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

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Étape 80.2.1.3.2.1.1

Additionnez $- \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ et $\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 0 - \frac{1}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.3.2.1.2

Additionnez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ et $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.3.2.3

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.3.2.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.3.2.7

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 80.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 80.2.1.5.1.1

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos^{3} (x)$ .

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Étape 80.2.1.5.1.1.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x) \cdot - 1}{\cos^{3} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 80.2.1.5.1.1.2.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x) \cdot - 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x) \cdot - 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = \frac{- 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 80.2.1.5.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.2.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.2.3

Séparez les fractions.

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.2.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 80.2.1.5.2.7

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 80.2.1.5.2.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81

Résolvez $x$ .

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Étape 81.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 81.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 81.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.3

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 81.1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.3.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sec (x) = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.1.1.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 81.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 81.2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 81.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 81.2.1.5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 81.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 81.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 81.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.5.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.5.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.5.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 81.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.5.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.5.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 81.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 81.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 81.8.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.8.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 81.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 81.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 81.8.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.8.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 81.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 81.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.10

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.11

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.12.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.12.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.12.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.12.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.12.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.12.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.12.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - 1 \cdot \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.13

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.14

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.15.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.15.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.15.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.15.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.15.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.15.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.15.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.16

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.17

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.18

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.19

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.20

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.20.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.20.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.21

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.21.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.21.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.21.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.21.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.21.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.22

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.22.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.22.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.22.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.23

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.23.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.23.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 81.23.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.24

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.25

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.26

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.26.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.26.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.26.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.26.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.26.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.26.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.26.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - 1 \cdot \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.27

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.28

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.29

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.29.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.29.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.29.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.29.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.29.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.29.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.29.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.30

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.31

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.32

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.33

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.34

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.34.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.34.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.35

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.35.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.35.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.35.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.35.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.35.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.36

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.36.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.36.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.36.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.37

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.37.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.37.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 81.37.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.38

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.39

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.40

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.40.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.40.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.40.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.40.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.40.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.40.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.40.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - 1 \cdot \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.41

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.42

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.43

Simplifiez

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Étape 81.43.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.43.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.43.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.43.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.43.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.43.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.43.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.44

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.45

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.46

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.47

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.48

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.48.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.48.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.49

Simplifiez chaque terme.

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Étape 81.49.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.49.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.49.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.49.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.49.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.50

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 81.50.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.50.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.50.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.51

Simplifiez le côté droit.

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Étape 81.51.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.51.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 81.51.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.52

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.53

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.54

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.54.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.54.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.54.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.54.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.54.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.54.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 + \cos (x) \cdot - 1 = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.54.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - 1 \cdot \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.55

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) (- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 81.56

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = \cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.57

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.57.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.57.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.57.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.57.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.57.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.57.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.57.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - 1 \cdot \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.58

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + 1 - \cos (x) = - \cos (x) + \sin (x) + 1$

Étape 81.59

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.60

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.61

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.62

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 81.62.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.62.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.63

Simplifiez chaque terme.

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Étape 81.63.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.63.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.63.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.63.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 81.63.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sec (x) - 1 = - 1 + \tan (x) + \sec (x)$

Étape 81.64

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 81.64.1

Soustrayez $\tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) + \sec (x) - 1 - \tan (x) = - 1 + \sec (x)$

Étape 81.64.2

Soustrayez $\sec (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) + \sec (x) - 1 - \tan (x) - \sec (x) = - 1$

Étape 81.64.3

Associez les termes opposés dans $\tan (x) + \sec (x) - 1 - \tan (x) - \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 81.64.3.1

Soustrayez $\tan (x)$ de $\tan (x)$ .

$0 + \sec (x) - 1 - \sec (x) = - 1$

Étape 81.64.3.2

Additionnez $0$ et $\sec (x)$ .

$\sec (x) - 1 - \sec (x) = - 1$

Étape 81.64.3.3

Soustrayez $\sec (x)$ de $\sec (x)$ .

$0 - 1 = - 1$

Étape 81.64.3.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 = - 1$

Étape 81.65

Comme $- 1 = - 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 82

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$