Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $1$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- \cos^{2} (x)$ et $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Étape 3.1.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 4

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Étape 6

Simplifiez $- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ .

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Déplacez $1$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 6.1.2

Remettez dans l’ordre $- \cos^{2} (x)$ et $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 6.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Étape 6.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Étape 6.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $\sec^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) = 0$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (x)$ et $- \sec^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)) = 0$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 0$

Étape 7.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 7.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 7.8

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) = 0$

Étape 7.9

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 7.12

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 7.13

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \cos^{2} (x) = 0$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (x) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (x) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 8.2.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{- 1}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Étape 9

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 10

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm 0$

Étape 10.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 11

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 12

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 13

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 14

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 14.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 14.2

Associez les fractions.

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Étape 14.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 14.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 14.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 15

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 15.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 15.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 15.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 15.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 16

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 17

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$