Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan^{2} (t)}{\sec (t)} = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec (t)}$ .

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Étape 1.1.1

Séparez les fractions.

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (t)} = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} (1 \cos (t)) = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.4

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\frac{\tan^{2} (t)}{1} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.5

Divisez $\tan^{2} (t)$ par $1$ .

$\tan^{2} (t) \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.6

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.8

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 1.1.8.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t) \cos (t)} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t) \cos (t)} \cos (t) = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 1.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \sec (t) - \cos (t)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (t)$ .

$\cos (t) \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (t) \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} = \cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (t) = \cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\sin^{2} (t) = \cos (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) (- \cos (t))$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (t) = \cos (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) (- \cos (t))$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (t) = 1 + \cos (t) (- \cos (t))$

Étape 7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin^{2} (t) = 1 - \cos (t) \cos (t)$

Étape 8

Multipliez $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Étape 8.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (t) = 1 - (\cos^{1} (t) \cos (t))$

Étape 8.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (t) = 1 - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))$

Étape 8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (t) = 1 - {\cos (t)}^{1 + 1}$

Étape 8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (t) = 1 - \cos^{2} (t)$

Étape 9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (t) = \sin^{2} (t)$

Étape 10

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| \sin (t) | = | \sin (t) |$

Étape 11

Résolvez $t$ .

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Étape 11.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$\sin (t) = \sin (t)$

$\sin (t) = - \sin (t)$

$- \sin (t) = \sin (t)$

$- \sin (t) = - \sin (t)$

Étape 11.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$\sin (t) = \sin (t)$

$\sin (t) = - \sin (t)$

Étape 11.3

Résolvez $\sin (t) = \sin (t)$ pour $t$ .

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Étape 11.3.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$t = t$

Étape 11.3.2

Déplacez tous les termes contenant $t$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.3.2.1

Soustrayez $t$ des deux côtés de l’équation.

$t - t = 0$

Étape 11.3.2.2

Soustrayez $t$ de $t$ .

$0 = 0$

Étape 11.3.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Tous les nombres réels

Étape 11.4

Résolvez $\sin (t) = - \sin (t)$ pour $t$ .

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Étape 11.4.1

Déplacez tous les termes contenant $\sin (t)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.4.1.1

Ajoutez $\sin (t)$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (t) + \sin (t) = 0$

Étape 11.4.1.2

Additionnez $\sin (t)$ et $\sin (t)$ .

$2 \sin (t) = 0$

Étape 11.4.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (t) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (t) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 11.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 11.4.2.2.1.2

Divisez $\sin (t)$ par $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

Étape 11.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\sin (t) = 0$

Étape 11.4.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$t = \arcsin (0)$

Étape 11.4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.4.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$t = 0$

Étape 11.4.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$t = π - 0$

Étape 11.4.6

Soustrayez $0$ de $π$ .

$t = π$

Étape 11.4.7

Déterminez la période de $\sin (t)$ .

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Étape 11.4.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.4.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.4.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.4.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.4.8

La période de la fonction $\sin (t)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$t = π n$ , pour tout entier $n$