Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x)}$ .

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Étape 1.1.1

Séparez les fractions.

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} (1 \sin (x)) = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cot^{2} (x)}{1} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.5

Divisez $\cot^{2} (x)$ par $1$ .

$\cot^{2} (x) \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.6

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.8

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.1.8.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 1.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) = 1 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) \sin (x)$

Étape 8

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 8.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) = 1 - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 8.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) = 1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) = 1 - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) = 1 - \sin^{2} (x)$

Étape 9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Étape 10

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Étape 11.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Étape 11.3

Résolvez $\cos (x) = \cos (x)$ pour $x$ .

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Étape 11.3.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$x = x$

Étape 11.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = 0$

Étape 11.3.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Étape 11.3.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Tous les nombres réels

Étape 11.4

Résolvez $\cos (x) = - \cos (x)$ pour $x$ .

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Étape 11.4.1

Déplacez tous les termes contenant $\cos (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.4.1.1

Ajoutez $\cos (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Étape 11.4.1.2

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Étape 11.4.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 11.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 11.4.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Étape 11.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 11.4.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 11.4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.4.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 11.4.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 11.4.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 11.4.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 11.4.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.4.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 11.4.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 11.4.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 11.4.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 11.4.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.4.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.4.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.4.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.4.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$