Trigonométrie Exemples

$\sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \cos (x)$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}^{2} = \cos^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}$ comme ${(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\cos^{2} (x))}^{1} = \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (x))}^{1}$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{2 \cdot 1} = \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Étape 3.2.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Étape 3.2.3

Résolvez $\cos (x) = \cos (x)$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$x = x$

Étape 3.2.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Étape 3.2.3.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Tous les nombres réels

Étape 3.2.4

Résolvez $\cos (x) = - \cos (x)$ pour $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Déplacez tous les termes contenant $\cos (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.4.1.1

Ajoutez $\cos (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Étape 3.2.4.1.2

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Étape 3.2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.2.4.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.2.4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.4.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.4.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.4.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.4.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.4.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.4.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.4.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.4.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.4.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$