Trigonométrie Exemples

$3 \tan^{2} (2 x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \tan^{2} (2 x) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (2 x) = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (2 x) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (2 x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \tan^{2} (2 x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\tan^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\tan^{2} (2 x) = \frac{1}{3}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (2 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 7.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 7.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = π + \frac{π}{6}$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Simplifiez

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Étape 7.5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 7.5.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 7.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 7.5.1.4

Additionnez $π \cdot 6$ et $π$ .

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Étape 7.5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 7.5.1.4.2

Additionnez $6 \cdot π$ et $π$ .

$2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Étape 7.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 7.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.5.2.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Étape 7.5.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 7.6

Déterminez la période de $\tan (2 x)$ .

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Étape 7.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 7.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 7.7

La période de la fonction $\tan (2 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\tan (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 8.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Étape 8.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 8.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Étape 8.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = - \frac{π}{6} - π$

Étape 8.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Étape 8.5.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{6}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{6} - π$ .

$2 x = \frac{5 π}{6}$

Étape 8.5.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Étape 8.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Étape 8.5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Étape 8.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.5.3.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.5.3.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 8.5.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 8.6

Déterminez la période de $\tan (2 x)$ .

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Étape 8.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 8.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 8.7

Ajoutez $\frac{π}{2}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.7.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{2}$

Étape 8.7.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Étape 8.7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.7.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Étape 8.7.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 8.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 6 - π}{12}$

Étape 8.7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.7.5.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{12}$

Étape 8.7.5.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{12}$

Étape 8.7.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 8.8

La période de la fonction $\tan (2 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ et $\frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}$ en $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ et $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ en $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$