Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 4 \sin (x)$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 1 = 4 (u)$

Étape 2

Soustrayez $4 u$ des deux côtés de l’équation.

$2 u^{2} + 1 - 4 u = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 9.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$ .

$x = 0.29725136$

Étape 10.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Étape 10.4

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.29725136$

Étape 10.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Étape 10.4.3

Soustrayez $0.29725136$ de $3.14159265$ .

$x = 2.84434129$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , pour tout entier $n$