Trigonométrie Exemples

$15 \cos^{2} (x) = 13 + \sin (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$15 \cos^{2} (x) - 13 = \sin (x)$

Étape 1.2

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$15 \cos^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Étape 2

Remplacez le $15 \cos^{2} (x)$ par $15 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$15 (1 - \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 \cdot 1 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$15 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$15 - 15 \sin^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $13$ de $15$ .

$- 15 \sin^{2} (x) + 2 - \sin (x) = 0$

Étape 5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 15 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 2 = 0$

Étape 6

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$- 15 {(u)}^{2} - (u) + 2 = 0$

Étape 7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 u^{2} - u + 2$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 u^{2}$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2}) - u - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (15 u^{2}) - u$ .

$- (15 u^{2} + u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (15 u^{2} + u) - 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2} + u - 2) = 0$

Étape 7.2

Factorisez.

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Étape 7.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 15 \cdot - 2 = - 30$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$- (15 u^{2} + 1 u - 2) = 0$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 5$ plus $6$

$- (15 u^{2} + (- 5 + 6) u - 2) = 0$

Étape 7.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Étape 7.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Étape 7.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (5 u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)) = 0$

Étape 7.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 1$ .

$- ((3 u - 1) (5 u + 2)) = 0$

Étape 7.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$5 u + 2 = 0$

Étape 9

Définissez $3 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $3 u - 1$ égal à $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $3 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 9.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u = 1$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = 1$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Étape 10

Définissez $5 u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $5 u + 2$ égal à $0$ .

$5 u + 2 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $5 u + 2 = 0$ pour $u$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 u = - 2$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $5 u = - 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 u = - 2$ par $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 2}{5}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{2}{5}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Étape 12

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Étape 13

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

$\sin (x) = - \frac{2}{5}$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1}{3}$ .

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Étape 14.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Étape 14.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Étape 14.4

Résolvez $x$ .

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Étape 14.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Étape 14.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Étape 14.4.3

Soustrayez $0.3398369$ de $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{2}{5}$ .

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Étape 15.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{2}{5})$

Étape 15.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{2}{5})$ .

$x = - 0.41151684$

Étape 15.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$

Étape 15.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 15.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 15.4.2

L’angle résultant de $3.55310949$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 3.55310949$

Étape 15.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 15.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 15.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 15.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 15.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 15.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.41151684$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.41151684 + 2 π$

Étape 15.6.2

Soustrayez $0.41151684$ de $2 π$ .

$5.87166846$

Étape 15.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.87166846$

Étape 15.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n, 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , pour tout entier $n$