Trigonométrie Exemples

$11 = 5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10) = 11$ .

$5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10) = 11$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 2.1.1.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$5 + 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$5 + 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 + 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (x + 10) = 11$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 + 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (x + 10) = 11$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 + (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (x + 10) = 11$

Étape 2.1.3

Développez $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (x + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 + \sqrt{6} (x + 10) - \sqrt{2} (x + 10) = 11$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 + \sqrt{6} x + \sqrt{6} \cdot 10 - \sqrt{2} (x + 10) = 11$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 + \sqrt{6} x + \sqrt{6} \cdot 10 - \sqrt{2} x - \sqrt{2} \cdot 10 = 11$

Étape 2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.1

Déplacez $10$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$5 + \sqrt{6} x + 10 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{2} x - \sqrt{2} \cdot 10 = 11$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$5 + \sqrt{6} x + 10 \sqrt{6} - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{6} x + 10 \sqrt{6} - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11 - 5$

Étape 3.2

Soustrayez $10 \sqrt{6}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11 - 5 - 10 \sqrt{6}$

Étape 3.3

Ajoutez $10 \sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x = 11 - 5 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Étape 3.4

Soustrayez $5$ de $11$ .

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Étape 4

Factorisez $x$ à partir de $\sqrt{6} x - \sqrt{2} x$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $\sqrt{6} x$ .

$x \sqrt{6} - \sqrt{2} x = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Étape 4.2

Factorisez $x$ à partir de $- \sqrt{2} x$ .

$x \sqrt{6} + x (- \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Étape 4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{6} + x (- \sqrt{2})$ .

$x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ par $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ par $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{x (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$x = \frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Étape 5.3.3

Multipliez $\frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Étape 5.3.4

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.3.5

Simplifiez

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun à $6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ et $4$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{4}$

Étape 5.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 (2)}$

Étape 5.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{(3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{(3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Forme décimale :

$x = - 4.20444504 \dots$